S = K log W
Im Artikel Rühren und Mischen (1) besprochen wir 5 Makrozustände Xi mit ihrer Anzahl von Mikrozuständen Wi:
| Xi | Wi |
| Einzelne Würfel | 6 |
| zwei Würfel | 36 |
| 50 rote und 50 grüne Kugeln | 1,01 x 1029 |
| 50 nummerierte und 50 rote Kugeln | 3 x 1093 |
| 100 nummerierte Kugeln | 9,3 x 10157 |
Die Schlussfolgerung lautete: Eine lineare Erhöhung der Anzahl verschiedener Komponenten in einem System erhöht die Anzahl möglicher Mikrozustände außergewöhnlich exponentiell.
Im 19. Jahrhundert wurde den Menschen die Existenz thermodynamischer extensiver Größen bewusst, die den Makrozustand eines Systems bestimmen.
In 1867 führte Rudolph Clausius die damals noch entbrechende Zustandsgröße ein mit die Einheit kJ/°K.mol, mit dem Symbol S und dem Namen Entropie. Dies ist zusätzlich zu den bereits bestehenden extensive Größen Volumen und Masse. Im Artikel Werkzeuge wird erklärt, wie er die Beziehung dS = dQ/T mit Hilfe der klassischen Physik definierte.
Nicht viel später, in 1872, leitete Ludwig Boltzmann auf statistischer Wege für dasselbe Konzept die Relation S = (R/N0.ln W her. Wie ist die Beziehung zwischen diese zwei Beziehungen diesen beiden Wissenschaftlern? Haben beide das gleiche S gemeint?
Um es herauszufinden, lassen wir die Entropie ein wenig von einem einfachen, aber repräsentativen System zunehmen und gehen mit beiden Formeln diese Zunahme berechnen. Mal anschauen ob die Ergebnisse die gleichen sind.
Nehmen wir als einfaches System, das Boltzmann auch verwendete, ein Gas in einem Zylinder, dessen Makrozustand sich ändert, weil das Volumen über dV steigt von V1 bis V2 ohne die Zufuhr von Wärme oder internen Gasarbeiten. Dazu bewegen wir den Kolben unendlich langsam heraus.
Zunächst werden wir Rudolphs Formel verwenden, um den Anstieg der Entropie zu berechnen. Das Ergebnis ist:
S2 - S1 = ∫(V1 → V2) dQ/T = R.ln V2/V1 (1)
Ablenkung:
- zur Bedeutung der Symbole siehe Verwendete Symbole.
- Arbeiten mit 1 Mol Gas das N0 Molekül enthält;
- Nach dem ersten Gesetz der Thermodynamik: dU = 0, weil keine Außenarbeiten ausgeführt oder Wärme zugeführt wird,
oder dQ + dA = 0
oder dQ = - dA;
- aus Boyle's Gas Law - Gay Lussac: P.V = R.T mit P = R.T/V mit P für den atmosphärischen Druck von außen;
- die Atmosphäre führt Arbeiten am Kolben aus: dA = -P.dV = -R.T.dV/V;
- das 1. Hauptgesetz ausfüllen: dQ = R.T.dV/V
oder dQ/T = R.dV/V
- aber dann ist: S2 - S1 = ∫(dV) R.dV/V = R.ln V2/V1
Dies entspricht (1), was zu beweisen war.
Anschließend wiederholen wir das Ritual mit der Gaszylinder, aber jetzt mit Ludwigs Formel. Die Veränderung der Entropie des Systems wird dort beschrieben mit
S2 - S1 = (R/N0).ln W2 - (R/N0).ln W1 =
= (R/N0).ln W2/W1 (2)
Wenn (2) gleich (1) ist, dann handeln sich beide Formeln über dem gleichen S. Weil ln W2/W1 = N0.ln V2/V1 ist dies in der Tat der Fall.
Ablenkung:
- angenommen Volume V1 besteht aus n kleinen Schachtel, die nicht größer sind als ein Molekül, von denen enthalten N0 Exemplare einen Gasmolekül;
- angenommen V2 ist gleich f.V1 , enthält f.n. Schachtel, wovon N0 Exemplaren mit einem Gasmolekül besetzt sind;
- in die obige Tabelle Xi /Wi noch zwei weitere Zeilen einfügen für die folgenden Zustände:
| Xi | Wi |
| N0 besetzte Schachtel und (n - N0) leere Schachtel | n! / N0!.(n - N0)! |
| N0 besetzte Schachtel und (f.n - N0) leere Schachtel | F.N. / N0!.(f.n - N0)! |
- gesamtzahl der Mikrozustände in V1 werde gegeben von W1 = n! / N0!.(n - N0)!
und für V2 von W2 = f.n! / N0!.(f.n - N0)!
- siehe für die Ablenkung Rühren und Mischen (1) ;
- nehme Stirlings Formel: lnnnn! = n.ln n - n
Das macht ln W1 = N0.ln n/N0 + N0
und ln W2 = N0.ln f.n/N0 + N0
Wissen, dass N0 vernachlässigbar ist in Bezug auf n: ln W2/W1 = ln W2 - ln W1 =
= N0.ln f.n/N0 + N0 - (N0.ln n/N0 + N0) =
= N0.ln f = N0.ln V2/V1 ,
Was zu beweisen war.
Es ist erstaunlich zu sehen, wie das gleiche Ergebnis auf zwei völlig unterschiedliche Arten erzielt wurde. Clausius dachte noch ganz
in Bezug auf Wärme und 
Temperatur, aber Boltzman sah, dass Wärme die Bewegung von Massenteilchen darstellt, die sich ständig ändern: Die Idee von Ort und Impuls war geboren. Erstmals wurden Systeme wie Partikelsammlungen in Zustandsräumen berücksichtigt. Phasenräume. Boltzmann war ein Wegbereiter der Quantenmechanik.
Temperatur, aber Boltzman sah, dass Wärme die Bewegung von Massenteilchen darstellt, die sich ständig ändern: Die Idee von Ort und Impuls war geboren. Erstmals wurden Systeme wie Partikelsammlungen in Zustandsräumen berücksichtigt. Phasenräume. Boltzmann war ein Wegbereiter der Quantenmechanik.Er stieß auf viel Widerstand. Die Boltzmann-Statistikmethode wurde von vielen führenden Naturwissenschaftlern "verabscheut" und "bekämpft". Einer dieser vehementen Ablehnungen war Max Planck, und es ist ironisch, dass er das Problem der Strahlung eines schwarzen Körpers nur nach fruchtlosen Versuchen mit der Boltzmann-Methode lösen konnte - so wurde Plancks berühmte Konstante geboren, genannt h. Das war im Jahr 1900. Übrigens war es auch Max Planck, der feststellte der Quotient R/N0 sei eine natürliche Konstante, was nicht ganz der Fall ist. Er berechnete seinen Wert auf 1.346 . 10-23 J/°K Er deutete auf ihn mit dem Symbol k. Später gab man diesem k den Namen Konstante von Boltzmann.
Ludwig Boltzmann starb 1906 im Alter von 62 Jahren, weil er sich das Leben nahm. Während eines Urlaubs im Badeort Duino bei Triest fand ihn am Mittwoch, den 7. September, gegen sechs Uhr abends seine Tochter Henriette - er hatte sich an einem Fensterstil des Hotels aufgehängt, in dem sie wohnten.
Während der chaotischen Jahre während und nach dem Ersten Weltkrieg wurde Boltzmanns Grab vernachlässigt und die Grabrechte endeten nach 20 Jahren - im Grab wurde ein zweiter Sarg auf den ersten gelegt. Dies führte dazu, dass eine Gruppe von Wissenschaftlern aktiv wurde, um ein Ehrengrab für Boltzmann zu schaffen. Und erfolgreich: 1929 wurde Boltzmanns Sarg auf einen Ehrenplatz am Wiener Zentralfriedhof verlegt.
1933, kurz vor seinem 100. Geburtstag, wurde auf Ludwigs neuem Grab ein Denkmal mit seiner Statue aufgestellt. Im Marmor wurde die ikonische Formel S = k log W gemeißelt. Aber das ist eine spätere Formulierung von Max Planck. Ludwig verwendete das Symbol H für die Entropie und arbeitete mit dem natürlichen Logarithmus mit Basis e.
Es war damals eine Zeit der Revolutionen, Kronen rollten die Straße hinunter. Und er selbst hatte eine Revolution in der Physik entfesselt.
